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北师大版数学七年级上册全册期末复*典型题

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北师大版七年级上册 期末总复*典型题

CONTEN
目T录

第一章 丰富的图形世界
第二章 有理数及其运算 第三章 整式及其加减
第四章 基本*面图形 第五章 一元一次方程
第六章 数据收集和分析

第一章 丰富的图形世界

知识归纳
1.立体图形 (1)柱体 ①圆柱:两个底面是大小相等的_圆__面___,侧面是一个_曲__面. ②棱柱:棱柱的底面是多边形,侧面是___*__行__四__边__形___. (2)锥体 ①圆锥:由两个面围成,有一个顶点,底面是__圆__形__,侧面 是____曲_____面. ②棱锥:底面是多边形,侧面是_三__角__形___. (3)球体:只有一个_曲___面.

2.图形的构成 点动成__线__,线动成__面__,面动成__体__. 3.棱柱 (1)棱柱的有关概念:在棱柱中,任何相邻两个面的交线都 叫做__棱___,其中相邻两个侧面的交线叫做__侧__棱___. (2)棱柱的特征:①棱柱的所有侧棱长都_相__等___;②棱柱的 两 个 底 面 形 状 __相__同____ , 都 是 多 边 形 ; ③ 棱 柱 的 侧 面 都 是 *__行___四__边__形___. (3)棱柱的分类:根据底面多边形的边数,棱柱可以分为三 棱柱、四棱柱、五棱柱、…,它们的底面分别是__三__角__形____、 __四__边__形___、__五__边__形____、… (4)棱柱各元素之间的关系:n 棱柱的底面是__n__边形,它 有__2_n___个顶点,__3_n__条棱,其中有__n__条侧棱,有_(_n_+__2_) 个面,___n____个侧面.

4.正方体的展开图 正方体的展开图有如下的 11 种情形:
5.从三个方向看图形的形状 (1)从正面看;(2)从左面看;(3)从上面看. 6.多边形 从 n 边形的一个顶点出发,有_(_n_-__3_)__条对角线,将 n 边形分成了__(n__-__2_) __个三角形.

考点攻略
?考点一 立体图形的认识 将如图 1-2 所示几何体分类,并说明理由.

[解析] 对几何体分类要按照一定的标准,根据不同的标 准可以进行相应的分类,一般地可以根据柱体、锥体、球体 和构成的面是*面还是曲面两个标准进行分类.
解:若按柱体、锥体、球体分类,①、②、③是一类, 它们是柱体,⑤、⑥是一类,它们是锥体,④是一类,它是 球体;若按组成几何体的面是*面还是曲面分类,①、③、 ⑥是一类,组成它们的面都是*的,②、④、⑤是一类,组 成它们的面中有曲面.
方法技巧 分类讨论是数学的一种基本的思想方法,在分类时, 应注意按照同一标准不重不漏地进行,而且根据分类标准 的不同,所进行的分类也是不同的.

?考点二 展开与折叠
一个正方体的表面展开图如图 1-3 所示,每个外 表面都标注了字母,如果从正方体的右面看是面 D,面 C 在后面,则正方体的上面是( A )
A.面 E B.面 F C.面 A D.面 B
[解析] 面 B 与面 D 相对,面 C 与面 F 相对,则剩下 的面 A 与面 E 相对.

方法技巧
(1)在正方体的表面展开图中,同一行或同一列上 间隔一个正方形的两个面是相对的面;
(2)确定某一个面的位置,需要有较强的空间想象 能力,对正方体的表面展开图非常熟悉,还要实际动 手操作,探索规律,及时归纳.

?考点三 几何体的截面

用一个*面去截下列几何体,截面不可能是三角

形的是( C ) A.正方体 B.长方体 C.圆柱

D.圆锥

[解析] 用一个*面去截正方体和长方体,若这个*面 经过正方体和长方体的三个面,所得截面就是三角形;用一

个*面去截圆锥,若这个*面经过圆锥的顶点,且与圆锥的

底面垂直,所得截面就是三角形;用一个*面去截圆柱,所

得截面不可能是三角形. 方法技巧

用*面去截一个几何体,截面形状通常是三角形、正

方形、长方形、梯形、圆等,截面的形状既与被截的几何

体有关,还与截的角度和方向有关.

?考点四 从三个方向看图形的形状
如图 1-4,是一个由若干个相同的小正方体组成的 几何体从三个方向看图形得到的形状,则组成这个几何体的 小正方体的个数是( C )
A.7 B.8 C.9 D.10

易错警示
这类题目的解答思路是,先根据从正面和从左面看到的 图形确定出从上面看时每个小正方形相应位置上的小正方 体的个数,再求出它们的和,就是组成这个几何体的小正方 体的个数.确定每个位置上的小正方体的个数时,要分清是 哪一行和哪一列,不要张冠李戴.

?考点五 *面图形的规律性问题
古希腊人常用小石子在沙 滩*诔筛髦中巫蠢囱芯渴纾
他们研究过图①中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够 表示成三角形,将其称为三角 形数;类似地,称图②中的 1,4,9,16,…这样的数为正方形 数.下列数中既是三角形数又 是正方形数的是( D )
A.15 B.25 C.55 D.1225

[解析] 察可以发现,正方形数都是*方数,这样就可 以排除 A、C 两个选项,而三角形数是前 n 个连续整数的 和,B 不符合,故选 D.
易错警示 规律探索题要先从特例入手,探寻规律,然后再推广 到一般情况.

几何体的展开图: 1.下列图形中,经过折叠不能围成一个正方体的是( D )

2.若下列只有一个图形不是图 1-7 的展开图,则此图是( D )
[解析] 选项 D 的四个三角形面不能折叠成原图形的四棱 锥,而是有一个三角形面与正方形面重合,故不能组合成原题 目的立体图形.

从不同方向看物体的形状: 1. 如图 1-9,是由 4 个相同小正方体组合而成的几何体,
从左面看到的图形是( D )
[解析] 左边看得到的是两个叠在一起的正方形.

2.如图 1-11 所示,该几何体从正面看得到的图形应 为( C )
[解析] 从正面看可得到一个大矩形左上边去掉一个小 矩形的图形.

第一章复*
3.如图 1-13 是几个小立方块所搭的几何体从上面看得到 的形状图,小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数, 则这个几何体从正面看得到的形状图是( A )

4.由若干个相同的小立方体搭成的几何体的从正面、 左面、上面看得到的形状图如图 1-15 所示,则搭成这个几 何体的小立方体的个数是( A )
A.3 B.4 C.2 D.5

5.如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体从上面看 的形状图,小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数, 那么该几何体从正面看的形状图为( C )
[解析] 从上面看的形状图中的数字是该位置小立 方体的个数,分析其中的数字,得从正面看的形状图有 3 列,从左到右每列中小正方形的个数分别是 4,3,2.

阶段综合测试一(月考) 6.如图是一个由一些相同的小立方块搭成的几何体从上
面看的形状图,小正方形中的数字表示该位置的小立方块的 个数,请你画出从正面和左面看的形状图.
解:
[解析] 由已知条件可知,从上面看有 4 列,每列小正方 形数目分别为 1,2,3,2,从左面看有 2 列,每列小正方形数目分 别为 3,2.据此可画出图形.

7.如图,是一个由小立方块所搭几何体从上面看的形状 图.正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数,请你画 出从正面和左面看得到的形状图.
解:
[解析] 由已知条件可知,从正面看有 3 列,每列小正方 形数目分别为 3,3,2,从左面看有 3 列,每列小正方形数目分 别为 2,3,2.据此可画出图形.

几何体的展开图:

1.如图 1-16,一个立方体的六

个面上标着连续的正整数,若相对两

个面上所标之数的和相等,则这六个

数的和为( D )

A.75

B.76

C.78

D.81

2.一个正方体,六个面上分别写有六 个连续的整数(如图 1-17 所示),且每两个 相对面上的数字和相等,本图所能看到的三 个面所写的数字分别是:3,6,7,问:与它们 相对的三个面的数字各是多少?为什么?
解 : 从 3,6,7 三 个 数 字 看 出 可 能 是 2,3,4,5,6,7 或 3,4,5,6,7,8,因为相对面上的数字和相等,所以第一种情况 必须 3,6 处于对面,与题意不符,所以这六个数字只能是 3,4,5,6,7,8,所以 3 与 8,6 与 5,7 与 4 处于对面位置.

3.如图 1-18,将其画在一张纸上. (1)将它折叠能得到________; (2)要把这个几何体重新展开,最少需 要剪开________条棱.
[答案] (1)三棱柱 (2)5
4.如图 1-19 所示的一张纸: (1)将其折叠能叠成什么几何体? (2)要把这个几何体重新展开,最少需 要剪开几条棱?
[解析] 三个长方形和两个三角形能围成三棱柱,结合三 棱柱的*面展开图的特征可知,要把这个几何体重新展开, 最少需要剪开 5 条棱.
解:(1)三棱柱.(2)最少剪开5条棱.

5.如图 1-20 所示是一个直三棱柱的表面 展开图,其中,黄色和绿色的部分都是边长等于
1 1 的正方形.这个直三棱柱的体积是___2_____.
6.如图 1-21 所示,是三棱柱的表面展开 示意图,则 AB=____4__,BC=___5___,CD= ____6__,BD=____4____,AE=____8____.
7.如图 1-22 所示,三棱柱底面边长都 是 3 厘米,侧棱长为 5 厘米,则此三棱柱共 有 _3_____ 个 侧 面 , 侧 面 展 开 图 的 面 积 为 ___4_5____*方厘米.

8.将如图的正方体的相邻两个面上各划分成九个一样 的小正方形,并分别标上“○”、“×”两个符号.若图 有一个图形为此正方体的展开图,则此图为( C )
[解析] 由已知图可得,“○”、“×”两符号的上 下位置不同,故可排除 A、B;又注意到“○”、“×” 两符号之间的空行有 3 列,故选 C.

9.如图是一个正方体的表面展开图,这个正方体是 (D )
[解析] 由展开图的知识可知四个小正方形组成的面 与阴影面是对面,故 A 错误;由于在一个方向能看到三个 面必定能看到有阴影的一面,故 C 错误;由于左右两块阴 影部分为四分之一正方形面积,且两个阴影部分不可能并 排在一起,故 B 错误.

10.如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体,从 上面看的图形是( D )
[解析] 从上面看可得到一行正方形,个数为 3,故选 D 11.图是由大小相同的 5 个小正方体搭成的几何体,则 从正面看的图形是( B )
[解析] 从正面看易得第一层有 3 个正方形,第二层最左 边有一个正方形.故选 B.

12.如图是一个由 6 个大小相同、棱长为 1 的小正方体搭 成的几何体,关于它的下列说法中正确的是( C )
A.从正面看的面积为 6 B.从左面看的面积为 2 C.从上面看的面积为 5 D.从三种方向看的面积都是 5
[解析] A.从正面看,可以看到 5 个正方形,错误; B.从左面看,能看到 3 个正方形,错误; C.从上面看可以看到 5 个正方形,正确; D.由以上判断可知,错误; 故选 C.

多边形和圆:

1.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 8 个三角形,这个多边形的边数是___1_0____.

[解析] 设多边形有 n 条边,则 n-2=8,解得 n=10. 所以这个多边形的边数是 10.

2.经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 10

个三角形,这个多边形从一个顶点出发的对角线条数是( B )

A.8

B.9

C.10

D.11

[解析] 设多边形有 n 条边,则 n-2=10,解得 n=12. 故这个多边形是十二边形. 所以这个多边形从一个顶点出发的对角线条数是 12-3=9.

3.从九边形的一个顶点出发,能引出____6____条对角 线,它们将九边形分成_____7___个三角形,九边形一共有 ___2_7____条对角线.
[解析] 从九边形的一个顶点出发,可以向与这个顶点不相 邻的 6 个顶点引对角线,即能引出 6 条对角线,它们将九边形 分成 7 个三角形,则九边形一共有 6×9×12=27(条)对角线.

第二章 有理数及其运算

知识归纳

1.有理数

???_整__数__???__正__零__整____数__

(1)有理数

? ?

??_负__整__数__

????_分__数__?????__负正____分分____数数____

???__正__有__理__数__?????__正正____整分____数数______ (2)有理数?___零___
???__负__有__理__数__?????__负负____整分____数数____

2.数轴 (1)数轴的概念:规定了_原__点__、_正__方__向__、__单__位__长__度___的直线, 叫数轴;
(2)数轴上的点与有理数的关系:所有的有理数都可以用数轴上 的点表示,零用_原__点__表示,正有理数用_原__点__右__边__的点表示,负有理 数用_原__点__左__边__的点表示.
3.相反数 (1)概念:如果两个数只有_符__号__不同,那么我们称其中一个数为 另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数,特别地,0的相反数 是__0___. (2)几何意义:在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点 _两__侧__,并且与原点的距离__相__等___.

4.绝对值 (1)概念:在数轴上,一个数所对应的点与__原__点__的距离叫
做该数的绝对值;
(2)绝对值的求法:正数的绝对值是它_本__身__,负数的绝对值 是它的_相__反__数__,0 的相反数是___0__.
5.有理数的加法
(1)法则:同号两数相加,取_相__同__的符号,并把绝对值_相__加__;
异号两数相加,绝对值相等时和为___0__,绝对值不相等时,取 绝对值较__大___的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对
值;一个数同__0__相加,仍得这个数. (2)运算律:①交换律:a+b=___b_+__a__;②结合律:(a+b)
+c=___a_+__(_b_+__c_) _.
6.有理数的减法 (1)法则:减去一个数等于加上这个数的_相__反__数___; (2)字母表示:a-b=a+(_-__b_)_.

7.有理数的乘法

(1)法则:两数相乘,同号得__正___,异号得_负___,并把绝对

值_相__乘__;任何数与 0 相乘仍得__0___;

(2)推广:几个不为 0 的有理数相乘,积的符号由负__因__数__的个

数决定,当_负__因__数__有奇数个时,积为_负____,当_负__因__数__有偶数个

时,积为_正____; (3)倒数:乘积为

1

的两个有理数互为倒数,如-2

与-__12_、

3

5

_5___与__3___;

(4) 运 算 律 : ① 交 换 律 : a·b = _b_·_a__ ; ② 结 合 律 : (a·b)·c = _a_·_(b_·_c_)_ ;③乘法对加法的分配律:a(b+c)=_a_b__+__a_c__.
8.有理数的除法 (1)法则一:两数相除,同号得_正___,异号得负____,并把绝对 值_相__除___;0 除以任何不等于 0 的数都得__0__; (2)法则二:除以一个数等于乘以这个数的_倒__数___.

9.有理数的乘方 (1)意义:一般地,求 n 个相同因数 a 的_乘__积__的运算叫
做乘方;即a×an×个…×a=an,其中乘方的结果叫做_幂___,a
叫做_底__数__,n 叫做__指__数___;
(2) 乘 方 运 算 的 符 号 法 则 : 正 数 的 任 何 次 幂 都 是 __正__数___ , 负 数 的 奇 数 次 幂 是 _负__数___ , 负 数 的 偶 数 次 幂 是 _正__数__.
10.有理数的混合运算的运算顺序 先算_乘__方__,再算_乘__除___,最后算__加__减___;如果有括号, 就先算__括__号__里__面__的__.
11.科学记数法 一般地,一个大于 10 的数可以表示成 a×10n 的形式, 其中__1_≤a<__1_0__,n 是_正__整__数__,这种记数方法叫做科学
记数法.

考点攻略
?考点一 用正数和负数表示具有相反意义的量
规定正常水位为 0 米,高于正常水位 0.2 米记作+0.2 米,则下列说法错误的是( C )
A.高于正常水位 3 米记作+3 米 B.低于正常水位 5 米记作-5 米 C.+6 米表示水深为 6 米 D.-1 米表示比正常水位低 1 米
方法技巧 用正数和负数表示具有相反意义的量,关键是看规定 哪种意义的量为正,则与之相反意义的量为负.

?考点二 有理数及其分类

把下列各数分别填在相应的括号内.

-12,13,-2,+6,272,0,0.8,314,-4.2.

正数:{ 负数:{

-1312,,+-62,,2-72,4.20.8,314

,…}; ,…};

正整数:{

13,+6

,…};

正分数:{ 负整数:{ 负分数:{

-21272,,--02.48.,2314

,…}; ,…}; ,…}.

[解析] 以前学过的数除 0 以外都是正数,正数前面 加上“-”就是负数,然后再看它们是整数还是分数.
易错警示 到现在为止,我们学过的数细分可分为五类:正整 数、正分数、零、负整数、负分数,但在具体问题中, 也会分为正数、负数、非正数、非负数等;在对有理数 进行分类时,必须按照同一标准进行,不能混淆.

?考点三 数轴 实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图 2-1 所示,
则 a___<_____b(填“<”“>”或“=”) .
[解析] 由图可知,实数 a、b 都是负数,且表示数 a 的 点在表示数 b 的点的左边,所以 a<b.

有理数 a、b 在数轴上的位置如图 2-2 所示,试化简 |a-1|-|b-a|.
解:|a-1|-|b-a|=a-1+(b-a)=a-1+b-a=b-1.
方法技巧 要求一个数的绝对值,应先判断这个数是正数、负数还 是 0,再根据绝对值的定义确定去掉绝对值符号后的结 果.

?考点四 相反数和绝对值
绝对值等于 3 的数有___2__个,它们分别是__3_、__-___3___, 它们表示的是一对__相__反____数.
[解析] 正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相 反数,因此,绝对值等于一个正数的数有两个,它们互为相 反数.
易错警示 绝对值和相反数既有区别又有联系:特殊数——0, 绝对值是 0,相反数也是 0;对于正数和负数来说,相反 数指的是符号相反,绝对值相同的数,如 1 与-1,2 与- 2,…;绝对值指的是不看符号的时候的纯数字,如|1| =|-1|=1,|2|=|-2|=2,….

?考点五 有理数的大小比较
用“>”或“<”填空:
(1)9___>_____-16; (2)-175___<_____-125;(3)0___>_____-7.

[解析] 因为正数大于负数,所以 9>-16;因为在数轴

7

2

7

2

上,表示-15的点在表示-15的点的左边,所以-15<-15;

因为 0 大于负数,所以 0>-7.

方法技巧 比较两个有理数的大小,根据不同的情况,可以选择不 同的方法,正数大于 0,负数小于 0,正数大于负数;如果 比较负数的大小,可以利用数轴来比较,也可以利用它们的 绝对值来比较.

?考点六 数轴与有理数运算

有理数 a、b 在数轴上的位置如图 2-3 所示,则
aa+2bb的值是( A )

A.正数 C.负数

B.0 D.无法判断

[解析] 由图可知,a>0,b<0,且|a|<|b|,进而可知 分子 a+b<0,分母 a2b<0,所以aa+2bb>0.
方法技巧 从数轴上不但可以看出字母的符号,还可以看出相关字 母的绝对值之间的大小关系.

?考点七 有理数的混合运算
(1)-22×34÷13-23; (2)(-6)×(-4)-(-32)÷(-8)-3; (3)5×???25-2???+12÷???12―13―14???. 解:(1)-22×34÷13-23=-4×34×3-8=-9-8=-17; (2)(-6)×(-4)-(-32)÷(-8)-3=24-4-3=17; (3)5×???25-2???+12÷???12―13―14???=5×25-5×2+12÷???-112??? =2-10-144=-152.

易错警示

(1)-22 与(-2)2 不同,-22 的底数是 2,(-2)2 的底数

是-2;

(2)在计算 12÷

? ? ?

12―13―14???时,要清楚除法没有分配律;

(3)有理数的混合运算一定要按照顺序进行,同时要注

意每一步运算的符号.

?考点八 有理数运算的应用
某粮食加工厂刚加工了 10 箱袋装大米,每箱 20 袋,每 袋 800 克.其中有一箱因为灌装机出现故障,每袋少了 50 克.厂 长责令质检员只能称一次,就要查出是哪一箱出现问题.质检 员小明思考了一下,他将 10 个箱子从 1 到 10 作了编号,然后 从 1 号箱子中取出 1 袋大米,从 2 号箱子中取出 2 袋大米,依 此类推.这样一共取了 55 袋大米,将它们一起称量,称得质量 为 43800 克,随后就找出了是哪一箱.你能明白其中的道理吗?
解: 55 袋大米的标准质量应为 800×55=44000(克), 但是实际质量是 43800 克,少了 200 克.因为是每袋中少了 50 克,200÷50=4,所以就是 4 号箱子中的大米不足.

?考点九 绝对值的计算与应用
某出租车周日下午以钟楼为出发点,在东西方向的 大街上行驶,规定向东为正,向西为负,行驶里程按照先后顺 序记录如下(单位:km):
+9,-3,-5,+4,-8,+6,-3,-6,-4,+10. (1)最后出租车离开钟楼多远?在钟楼的什么方向? (2)若每千米的收费价格是 2.4 元,该出租车周日下午的营 业额是多少?

解:(1)+9-3-5+4-8+6-3-6-4+10=0,故 该出租车正好在钟楼处;
(2)2.4×(|+9|+|-3|+|-5|+|+4|+|-8|+|+6|+| -3|+|-6|+|-4|+|+10|)=2.4×58=139.2(元).
即该出租车周日下午的营业额是 139.2 元.
方法技巧 在实际问题中,如果所求结果与方向无关,而只与 距离有关时,通常通过计算数的绝对值解决问题.

?考点十 科学记数法
用科学记数法表示 80000000×90000000 的 计算结果.
[解析] 先计算出 80000000×90000000 的结果,再 用科学记数法表示出来.
解 : 80000000×90000000 = 7200000000000000 = 7.2×1015.
易错警示 用科学记数法 a×10n 表示大数时,要注意两点:(1)a 的整数部分只有一位,它大于或等于 1 但是小于 10;(2)n 是正整数,它的值等于原数的整数位数减 1.

第二章复*
数轴:
如图 2-4 所示,数轴上两点 A、B 分别表示实数 a、b,
则下列四个数中最大的一个数是( D )

A.a

B.b

1 C.a

1 D.b

第二章复*

绝对值: 1.若|2x-6|+|3+y|=0,则xy=__-__1____.

2.若(a-2)2+|b+3|=0,则(a+b)2012 的值是

(B) A.0

B.1

C.-1

D.2012

3.若|x-3|+|y+2|=0,则|x|+|y|等于( A )

A.5

B.1

C.2

D.0

有理数的意义

1.在数轴上,下列两个有理数之间的距离等于 2 的是

( C) A.-1,2

B.0,3 C.2011,2013 D.-5,7

2.在数轴上,距原点 4 个单位长度的点表示的有理数是

(D) A.4

B.1、2、3、4

C.±1、±2、±3、±4

D.±4

3.在数轴上表示-3,4 的两个点之间的距离是____7____ 个单位长度,这两个数之间的有理数有__无__数____个;这两个数 之间的整数有_____6_____个.

阶段综合测试三(期中二) 4.如图,在数轴上点 A 和点 B 之间表示整数的点有
_____4_______个.
5.一条数轴的单位长度是 1 cm,若它上面的一个点从某处 开始沿着数轴运动,当这个点移动 20 cm 时,它经过的整数刻 度有_2_0_或__2_1__个.

有理数混合运算:

1.计算(-1)2+(-1)3=( C ) A.-2 B.-1 C.0

D.2

2.计算-(-1)2012 的结果是( B )

A.1

B.-1 C.2012 D.-2012

3.中央电视台每一期的“开心辞典”栏目,都有一个 “二十四点”的趣味题,即用“数字牌”做 24 点游戏,抽出 的四张牌分别表示 2、-3、-4、6(每张牌只能用一次,可以 用加、减、乘、除运算).请写出一个算式,使结果为 24: __2_×__6_+__(-__3_)_×__(_-__4_)(_答__案__不__惟__一__)_____.

4.有一种“二十四点”的游戏,其游戏规则是这样的:
任取四个 1 至 13 之间的自然数,将这四个数(每个数用且只 用一次)进行加、减、乘、除四则运算,使其结果等于 24 例
如对 1,2,3,4 可作运算:(1+2+3)×4=24(注意上述运算与
4×(2+3+1)应视为相同方法的运算).现有四个有理数 3,4, -6,10,运用上述规则写出两种不同方法的运算式,使其结
果等于 24,运算式如下: ____①___3_×__[4_+__1_0_+__(_-__6_)_] __②__[(_1_0_-__4_)_-__3_×__(_-__6_)]_____
_______(_答__案__不__惟__一__)____.

第二章复*
5.计算:-81÷23×32÷(-9). 解:原式=-81×32×32×???-19???=841. 6.计算:(-81) ÷214×49÷(-16) ÷???-14???. 解:原式=(-81)×49×49×???-116???×(-4)=-4.

7.计算:4÷-18×8+8÷(-4)2. 解:原式=4×(-8)×8+8÷16=-25512. 8.计算:32×292÷12-23. 解:原式=9×49×2-8=8-8=0.
9.计算:32-5×(-1)3+(-1)4.
解:原式=9-5×(-1)+1=15.

10.计算下列各题并总结出规律. 1+2+3+…+2010+2011+2012.
[解析] 这是从 1 到 2012 的连续自然数的和,运用加法运 算律可得 1+2012=2013,2+2011=2013,…,即第 1 个数与 最后一个数的和是 2013,第 2 个数与倒数第 2 个数的和是 2013,…,依此类推,共 1006 个 2013,故若有 n(n 为偶数) 个连续自然数相加,则有n2个首项与末项之和.
解:原式=(1+2012)+(2+2011)+…+(1006+1007)
1006
= 2013+2013+…+2013 =2013×1006=2025078. 规律:1+2+…+n=n?n2+1?(n 为偶数).

11.观察以下各式: 1=12, 1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42, … (1)你能运用上述规律求 1+3+5+…+2013 的值吗? (2)求 1+3+5+…+(2n-1)的值.
[答案] (1)10072 (2)n2

12.已知 a 是有理数,且|a|=-a,则有理数 a 在数 轴上的对应点在( C )
A.原点的左边 B.原点的右边 C.原点或原点的左边 D.原点或原点的右边
13.若 x 的相反数是 3,|y|=5,则 x+y 的值为( D ) A.-8 B.2 C.8 或-2 D.-8 或 2
[解析] 首先根据相反数,绝对值的概念分别求出 x、 y 的值,然后代入 x+y,即可得出结果.

14.若 ??aa??=-1,则 a 为( B )

A.a>0

B.a<0

C.0<a<1

D.-1<a<0

[解析] 根据“一个负数的绝对值是它的相反数”求 解.因为??aa??=-1,所以|a|=-a,
因为 a 是分母,不能为 0,所以 a<0.

15.如果用“*”定义一种新运算:a*b=a2+b,那么(-8)*7 =______7_1_____.

16.如果定义运算符号“ ”为 a b=a+b+ab-1,那



的值为( )

A.11

B.12

C.9

D

D.10

17.现定义一种新运算: =ab+a-b,如



1×3+1-3=1.

(1)求[(-

的值;

(2)新定义的运算满足交换律吗?试举例说明.

解:(1)因为 =ab+a-b, 所以(-2) =(-2)×5-2-5=-17. 所以(-17) =(-17)×6-17-6=-125. 故[(-2) ] 的值为-125. (2)因为新运算 =ab+a-b,所以 =ba+b-a, 所以 ≠ , 故新定义的运算不满足交换律. 例如: =2+2-1=3, =2+1-2=1,显然 ≠

18.在一条笔直的东西走向的马路上,有少年宫、学校、超市、 医院四家公共场所.已知少年宫在学校东 300 米,超市在学校西 200 米,医院在学校东 500 米.
(1)你能利用所学过的数轴知识描述它们的位置吗? (2)小明放学后要去医院看望生病住院的奶奶,他从学校出 发向西走了 200 米,又向西走了-700 米,你说他能到医院吗?
[解析] (1)把学校的位置记作 0 米,向东为正,向西为 负,即可用数轴表示;
(2)通过计算,根据计算结果即可求得. 解:(1)如图所示.
(2)(-200)+700=500(米),则他在学校东 500 米,他能 到医院.

19.计算(-2)3 所得结果是(C )

A.-6

B.6

C.-8

D.8

20.下列每对数中,不相等的一对是(C )

A.(-2)3 和-23

B.(-2)2 和 22

C.(-2)4 和-24

D.|-2|3 和|2|3

21.如图,这是一个数值转换
机的示意图,若输入 x 的值为-2, 输入 y 的值为 6,则输出的结果为 _____1_6______.

22.如图,某计算装置有一数据输入口 A 和一运算结果的输 出口 B,下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后
输出的相应结果,按照这个计算装置的计算规律,若输入的数是 10,则输出的数是____1_0_1____.
x12 3 4 5 y 2 5 10 17 26
[解析] 分析表格后,可以得到 x 和 y 的关系是 y=x2+1.

23.如图,是一个有理数混合运算程序的流程图,请根 据这个程序回答问题:当输入的 x 为-16 时,最后输出的结 果 y 是多少?(写出计算过程)
[解析] 先根据流程图列出算式,然 后根据有理数混合运算的顺序计算,先 算乘方,再算乘除,最后算加减,有括 号的先算括号里面的.

解:根据题意,得
[x+4-(-32)]×???13-12???÷(-0.5)=x+313. 故第一次运算结果为:-163+13=-1,第二次运算结 果为:-1+3 13=4,第三次运算结果为:4+313=137>5.所 以,最后输出的结果 y 是137.

24.已知 x、y 互为相反数,a、b 互为倒数,m 的绝对 值为 3.则代数式 4(x+y)-ab+m3 的值是_2_6_或__-__2_8__.

25. 计算???-13???-23的结果是( A )

A.-13

B.13

C.-1

[解析] ???-13???-23=13-23=-13.

D.1

26.计算:5×(-3)+6÷(-2)=_-__1_8____.

[解析] 5×(-3)+6÷(-2)=-15+(-3)=-18. 27.计算:36÷4×???-14???=__-__94____.
[解析] 36÷4×???-14???=9×???-14???=-94.

28.一位同学在写字的时候不慎将一滴墨水滴在数轴上,
根据图中的数据,判断墨迹盖住的整数之和为___1_____.
[解析] 根据数轴,知墨迹盖住的整数是-3,-2,1,2,3. 所以它们的和是 1.

29.一滴墨水滴在一个数轴上,根据图中标出的数值, 可以判定墨迹盖住的整数个数是( C )

A.285

B.286

C.287

D.288

[解析] 在-109.2 与-11.9 之间最小整数是-109,最大 整数是-12.
共计包含(-12)-(-109)+1=98(个)整数. 在 10.5 与 199.5 之间包含最小整数是 11,最大整数是 199. 共计包含 199-11+1=189(个)整数,因此墨水共盖住 98+189=287(个)整数.

第三章 整式及其加减

知识归纳
1.代数式 用 运 算 符 号 把 数 和 _字__母__ 连 接 而 成 的 式 子 , 叫 做 代 数 式.关于代数式,要注意把握两点:一是单独的一个数或 _字__母___也是代数式;二是只要不含有_等__号__或__不__等__号___的式 子就是代数式. 2.代数式书写格式 (1)数与字母相乘,应将___数____写在前面; (2) 数 与 字 母 相 乘 、 字 母 与 字 母 相 乘 ,“ × ” 应 写 作 _“__·_”__或者_省__略__不__写___;如 a×10 应写作1_0_·_a_或者__1_0_a,m ×n 应写作___m_·_n_或____m_n_; (3)有除法运算时,要写成分数的形式,如 6÷(y-3)应写 6 成__y_-__3__.

3.求代数式的值的步骤
第一步,用__数__值__代替代数式里的字母,简称__代__入__;第二 步,按照代数式指明的运算计算出结果,简称__计__算___.
4.代数式的项和各项的系数 代数式 10x-5y 有两项,_1_0_x__与-__5_y__,每一项前面 的_数__字__因数叫做这一项的系数,10x 的系数是_1_0__,-5y 的系数是_-__5__;代数式 6a2-2a-7 有三项,_6_a_2__、-__2_a_ 与_-__7__,6a2 的系数是__6__,-2a 的系数是_-__2_,-7 是 常数项.
5.同类项 所含字母_相__同__,并且相同字母的_指__数__也_相__同__的项,
叫做同类项.

6.合并同类项 (1)法则:合并同类项时,把同类项的系数_相__加__,所得的 结果作为系数,字母和字母的指数_不__变__; (2)步骤:第一步,找出_同__类__项__;第二步,利用法则,把 同类项的__系__数__加在一起,字母和字母的指数_不__变__;第三步, 利用有理数的加法法则计算出各项系数的和,写出合并后的
结果.
7.去括号法则 (1)括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉, 原括号里各项的符号都_不__改__变__; (2)括号前是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉, 原括号里各项的符号都要_改__变___.

考点攻略
?考点一 代数式及求值
老师利用假期带学生外出游览,已知每张车票 50 元, 甲车主说,如果乘我的车,师生全部享受 8 折优惠;乙车主 说,如果乘我的车,学生 9 折优惠,老师免费.
(1)如果一个老师带了 x 名学生,分别写出乘甲、乙两车 所需的车费;
(2)如果这个老师带了 6 名学生,乘哪一辆车合算?如果 带了 10 名学生呢?

解:(1)乘甲车所需的车费为 50(x+1)×80%元, 乘乙车所需的车费为 50x·90%元; (2)当 x=6 时,50(x+1)×80%=40×7=280(元), 50x·90%=45×6=270(元),乘乙车合算; 当 x=10 时,50(x+1)×80%=40×11=440(元), 50x·90%=45×10=450(元),乘甲车合算.
方法技巧 求代数式的值,关键是正确代入数值,遇到负数时, 要合理地添加括号.

?考点二 合并同类项
先去括号,再合并同类项: a-(2a-b)-2(a+2b).
解:a-(2a-b)-2(a+2b)= a-2a+b-2a-4b = a-2a-2a+b-4b=-3a-3b.
易错警示 去括号时,用乘法对加法的分配律;合并同类项时 用加法的交换律、结合律可以使运算简便. 合并同类项时,不是同类项的不能合并,要保留下 来;交换各项的位置时,要连同它的符号一起移动,不 能遗漏.

?考点三 探索规律
如图 3-1,将一个正三角形纸片剪成四 个全等的小正三角形,再将其中的一个按同 样的方法剪成四个更小的正三角形,……如 此继续下去,结果如下表:
所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … an
则 an=__3_n_+__1__(用含 n 的代数式表示).
[解析] 由题中给出的表格,就能发现 an 与 n 的关系为 an=3n +1,实际上每剪一次,就增加 3 个小三角形,故符合表格规律.

方法技巧 探索规律是一种思维活动,即思维从特殊到一般的跳 跃,需要有一定的归纳与综合能力.当已知的数据有多组时, 需要仔细观察,反复比较,才能准确找出规律.探索规律, 所用到的数学思想方法有分类讨论思想、转化思想、归纳法.

代数式的意义:
1.在一次人才招聘会上,有 A、B 两家公司分别开出他们 的工资标准:A 公司允诺第一年月工资为 1500 元,以后每年 月工资比上一年月工资增加 230 元;B 公司允诺第一个月工资 为 2000 元,以后每年月工资在上一年月工资基础上递增 5%, 设某人年初被 A、B 两家公司同时录取,试问:
(1)若该人打算在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年,则他第 n 年的月工资收入各为多少? (2)若该人打算连续在一家公司工作 10 年,仅以工资收入来看, 该人去哪家公司较合算?

解:(1)设此人在 A、B 公司第 n 年的月工资数分别为
an、bn.
an=1500+230(n-1),bn=2000(1+5%)n-1(其中 n 为正 整数).
(2)若该人在 A 公司连续工作 10 年,则他的工资收入总
量为 12(a1+a2+…+a10)=304200(元). 若该人在 B 公司连续工作 10 年,则他的工资收入总量
为 12(b1+b2+…+b10)≈301869(元). 故该人应选择在 A 公司工作.

2.图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的,则第 n 层 有____4_n_____个圆点(用含 n 的代数式表示).
3.如果代数式 a+2b 的值为 5,那么代数式 2a+4b-3 的值等于( A )
A.7 B.2 C.-7 D.4 4.如果代数式-2a+3b+8 的值为 18,那么代数式 9b- 6a+2 的值等于____3_2_____.

代数式求值:

1.如图 3-2 是一个简单的数值运算程序,当输入的 x 的值为-1 时,则输出的值为( A )

A.1

输入x ―→ ×?-3? ―→ -2 ―→ 输出

B.-5

图 3-2
C.-1

D.5

2.按图 3-3 所示的程序计算,若开始输入的值为 x=3, 则最后输出的结果是____2_3_1____.

图 3-3

3.小华同学在求代数式 25+a 的值时,误将“+”号看成

“-”号,其结果为 17,则 25+a 的值为( B )

A.8 B.33 C.34

D.42

4.某同学做一道数学题:“两个多项式 A、B,B=4x2 -5x-6,试求 A+B 的值”,这位同学把“A+B”看成“A -B”,结果求出答案是-7x2+10x+12,那么 A+B 的正确 答案是多少?
解:因为 A-B=-7x2+10x+12,B=4x2-5x-6, 所以 A=B+(-7x2+10x+12)=4x2-5x-6-7x2+10x+ 12=-3x2+5x+6, 所以 A+B=(-3x2+5x+6)+(4x2-5x-6)=-3x2+5x+ 6+4x2-5x-6=x2.

5.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中

按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为 a0a1a2, 其中 a0a1a2 均为 0 或 1,传输信息为 h0a0a1a2h1,其中 h0=a0 +a1,h1=h0+a2.运算规则为:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1 =0,例如原信息为 111,则传输信息为 01111.传输信息在传输

过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定

有误的是( B ) A.11010 B.10111

C.01100

D.00011

6.一列数 a1,a2,a3,…,其中 a1=12,3 an=1+1an-1 (n 为不小于 2 的整数),则 a3 的值为____5____.

7.如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它 停在奇数点上,则下一次沿顺时针方向跳两个点;若停在偶数 点上,则下一次沿逆时针方向跳一个点.若青蛙从 5 这点开始 跳,则经 2013 次跳后它停在的点所对应的数为( B )
A.1 B.2 C.3 D.5

8.现有若干个★与○的图形,按一定的规律排列如下: ★○★★○★★★○★★★★○★○★★○★★★○★ ★★★○★○★★○★★★○★★★★○★○★… 则前 2013 个图形中有_5_7_5___个○的图形.
[解析] 根据题意分析可得:从第一个开始每 14 个图形为 一个循环,那么可以有 2013÷14=143……11,其中每 14 个 图形有 4 个○,还剩 11 个图形中有 3 个为○.所以○的个数为: 143×4+3=575.

9.如果 x2+x-1=0,那么代数式 2x2+2x-6 的值为( C )

A.4

B.5

C.-4

D.-5

[解析] 由 x2+x-1=0,得 x2+x=1,所以 2x2+2x -6=2(x2+x)-6=2×1-6=-4.
10.已知 a+2b=2,则 4b+2a+4=___8_____.
[解析] 4b+2a+4=2(a+2b)+4=2×2+4=8.

11.已知 x-2y=5,则 31-2x+4y=__2_1_____.

12.当 x=-3 时,代数式 ax5+bx3+cx-8 的值为 6, 试求当 x=3 时,ax5+bx3+cx-8 的值.
解:当 x=-3 时,代数式 ax5+bx3+cx-8=-243a -27b-3c-8=6,
所以-243a-27b-3c=14, 即 243a+27b+3c=-14, 当 x=3 时,ax5+bx3+cx-8=243a+27b+3c-8= -14-8=-22.

13.某长方形广场的长为 a 米,宽为 b 米,中间有一个圆形花 坛,半径为 c 米.
(1)用整式表示图中阴影部分的面积; (2)若长方形的长 a 为 100 米,宽 b 为 50 米,圆的半径 c 为 10 米,求阴影部分的面积.(π 取 3.14)
[解析] 阴影部分面积等于长方形的面 积减去圆的面积,再根据已知条件代入数 值求解.
解:(1)(ab-πc2)*方米;(2)当 a= 100,b=50,c=10 时,ab-πc2=100×50 -3.14×102=5000-314=4686(*方米).

14.人在运动时的心跳速率通常与人的年龄有关,如果
用 m 表示一个人的年龄,用 n 表示正常情况下这个人在运动 时所能承受的每分钟心跳的最高次数,那么 n=0.8(220-m).
(1)正常情况下,在运动时,一个 16 岁的少年所能承受的 每分钟心跳的最高次数是多少?
(2)一个 50 岁的人运动时,30 秒心跳的次数为 70 次,他 有危险吗?
解:(1)把 m=16 代入 n=0.8(220-m),得 n=0.8×(220 -16)=163.2≈163(次);
(2)把 m=50 代入 n=0.8(220-m),得 n=0.8×(220-50) =136 (次),70×2=140(次),
因为 140>136,所以有危险.

15.王老师购买了一套经济适用房,他
准备将地面铺上地砖,地面结构如图所示, 根据图中的数据(单位:m),解答下列问题:
(1)写出用含 x、y 的整式表示的地面总面 积;
(2)若 x=4 m,y=1.5 m,铺 1 m2 地砖的 *均费用为 80 元,求铺地砖的总费用为多少 元?

[解析] (1)根据图形可知,房子的总面积包括卧室、卫生间、厨房 及客厅的面积,因为四部分均为长方形,分别找出各长方形的长和宽, 根据长方形的面积公式即可表示出 y 与 x 的关系;
(2)把 x 与 y 的值代入第一问中求得的总面积中,算出房子的总面 积,然后根据地砖的单价即可求出铺地砖的总费用.
解:(1)设地面的总面积为 S,由题意可知:S=3×(2+2) +2y+3×2+6x=6x+2y+18;
(2)把 x=4,y=1.5 代入(1)求得的代数式得:S=24+3+ 18=45(m2),
所以铺地砖的总费用为 45×80=3600(元). 答:(1)用含 x、y 的整式表示的地面总面积为 S=6x+2y +18.(2)铺地砖的总费用为 3600 元.

16.如图,小红设计了一个计算程序,并 按此程序进行了两次计算.在计算中输入了不 同的 x 值,但一次没有结果,另一次输出的结 果是 42,则这两次输入的 x 值可能是( A )

A.0,2 C.0,-1

B.-1,-2 D.6,-3

17.小明设计了如图所示的一个程序,请问当输入的 数值为 3 时,最后输出结果是多少?
解:当 n=3 时,n2-n=32-3=9-3 =6,不输出,
继续计算,62-6=36-6=30>28, 所以输出,
所以,最后输出的结果是 30.

18.3 的正整数次幂:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36

=729,37=2187,38=6561,…,观察归纳,可得 32013 的个位数字

是( B )
A.1

B.3

C.7

D.9

19.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种

子分组进行发芽试验.第 1 组取 3 粒,第 2 组取 5 粒,第 3 组取

7 粒……即每组所取种子数目比前一组增加 2 粒,按此规律,那

么请你推测第 n 组应该有种子数( A )

A.(2n+1)粒

B.(2n-1)粒

C.2n 粒

D.(n+2)粒

20.观察下面的数的规律:1+2,2+3,4+4,8+5,16+ 6,…,照此规律,第 n 个数是_2_n_-__1+__n_+__1__.(用含字母 n 的式子表示)
[解析] 已知,1+2,2+3,4+4,8+5,16+6,…,“+”左 边为 1,2,4,8,16,…,“+”右边为 2,3,4,5,6,….
左边:1=21-1,2=22-1, 4=23-1,8=24-1,16=25-1, …, 那么左边第 n 个数表示为 2n-1, 右边:每项的数都是项数加 1, 所以右边第 n 个数表示为 n+1.

21.如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的 边上,按照这样的规律摆下去,则
第 10 个图形需要黑色棋子的个数是( B )

A.140 B.120 C.99

D.86

22.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形,

按照这样的规律摆下去,则第 2013 个图形需棋子__6_0_4_0___

枚.

探索规律:
1.下列各式中去括号正确的是( C ) A.3(a+3b)=3a+3b B.-(-a+c)=a+c C.-2(a-b)=-2a+2b D.m+(n+a)=m-n+a
2.下列各项中,去括号正确的是( C ) A.x2-(2x-y+2)=x2-2x+y+2 B.-(m+n)-mn=-m+n-mn C.x-(5x-3y)+(2x-y)=-2x+2y D.ab-(-ab+3)=3

3.为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆 “金鱼”比赛,第一个“金鱼”用了 8 根火柴,如图 3-4 所示:
图 3-4
按照上面的规律,摆 n 个“金鱼”需用火柴棒的根数 为( A )
A.2+6n B.8+6n C.4+4n D.8n

合并同类项:
1.小明在求一个多项式减去 x2-3x+5 时,误认为加 上 x2-3x+5,得到的答案是 5x2-2x+4,则正确的答案是 __3_x_2_+__4_x_-__6_____.
[解析] 误认为加上 x2-3x+5,得到的答案是 5x2-2x+ 4,则原式为 5x2-2x+4-(x2-3x+5)=4x2+x-1.然后用原 式按照正确的方法减去 x2-3x+5,得 3x2+4x-6.
2.张华在一次测验中计算一个代数式加上 5xy-3yz+2xz 时,误认为减去此式,计算出错误结果为 2xy-6yz+xz,试求 出正确答案.
解:设原来的代数式为 A,则 A-(5xy-3yz+2xz)=2xy -6yz+xz,得 A=7xy-9yz+3xz;
故 A+(5xy-3yz+2xz)=7xy-9yz+3xz+(5xy-3yz+2xz) =12xy-12yz+5xz.

3.下列计算中结果正确的是(C )

A.4+5ab=9ab

B.6xy-x=6y

C.3a2b-3ba2=0

D.12x3+5x4=17x7

4.有下列计算:①3p+2q=5pq ;②2m2n-3m2n=- m2n ;③3y2-4y5=-y3;④-2a2b4+3a4b2=a2b2.其中正 确的有____1____个

第四章 基本*面图形

知识归纳

1.直线、射线、线段

名称 直线

图形

表示方法
①直线 AB 或直线 BA
②直线 m

延伸 方向
两个

端点 无

长度 无

射线

射线 AP

一个 一个 无

线段

①线段 AB 或线段

BA

无 两个 有

②线段 l

2.直线的基本性质
经过两点有且只有_一___条直线.
3.线段的基本性质
两点之间,_线__段__最短.
4.两点之间的距离
两点之间线段的_长___度__,叫做这两点之间的距离.距离是 指线段的__长__度__,是一个_数___值__,而不是指线段本身.
5.比较两条线段长短的方法
(1)叠合法:把它们放在同一条_直___线__上比较;
(2)度量法:用刻度尺量出两条线段的长度进行比较. 6.线段的中点
若点 M 把线段 AB 分成_相___等__的两条线段 AM、BM,则
点 M 叫做线段 AB 的中点.这时有 AM=__B_M__=12___A_B_,AB =_2_A_M____=_2_B__M___.

7.角 (1)概念:角由两条具有公共_端__点___的射线组成,两条射 线的公共__端__点___是这个角的__顶__点___,这两条射线叫做角的 __边___;从动态观点看,角是一条射线绕__端__点__从起始位置旋 转到终止位置所组成的图形. (2)表示方法:①三个大写英文字母表示,中间的字母表 示_顶__点___,其他两个字母分别表示两条边上的任意一点; ②用一个数字或小写_希__腊___字母表示;③用一个大写_英__文___ 字母表示,前提是以这个点为顶点的角只有一个.
(3)单位及换算:把周角*均分成 360 份,每一份就是 1°
的角,1°的610就是 1′,1′的610就是 1″,即 1°=_6_0_′__,1′ =__6_0_″__.
(4)分类:小于*角的角可按大小分成三类:当一个角等 于*角的一半时,这个角叫做_直__角__;大于 0°角小于直角的角 叫做_锐__角__;大于直角而小于*角的角叫做__钝__角__.

第四章复*
8.角的*分线 从一个角的__顶__点__引出的一条射线,把这个角分成两 个__相__等___的角,这条射线叫做这个角的*分线.

考点攻略
?考点一 直线、射线、线段
如图 4-1,C、D 是线段 AB 上两点,若 CB=4 cm, DB=7 cm,且 D 是 AC 的中点,则 AC 的长等于( B )

A.3 cm B.6 cm

C.11 cm D.14 cm

[解析] 先利用线段的和差求出 DC 的长,再根据线段 的中点定义求 AC 的长.
方法技巧 以例题为例,点 D 是 AC 的中点,那么我们可以得到 三种形式的结论:(1)AD=DC;(2)AD=12AC,DC=12AC; (3)AC=2AD=2DC,解题时,要根据具体题目灵活选择.

?考点二 角
8 点 30 分 时 , 钟 表 的 时 针 与 分 针 的 夹 角 为 _____7_5____°.
[解析] 钟表被分成 12 格,每格的度数是 30°, 30°×2.5=75°.
方法技巧 计算钟面上时针与分针的夹角,关键是确定时针
与分针相隔几个格.

?考点三 规律探索性问题
如图 4-2,*面内有公共端点 的六条射线 OA,OB,OC,OD,OE, OF,从射线 OA 开始按逆时针方向依 次在射线上写出数字 1,2,3,4,5,6,7,…. 则“17”在射线__O__E__上;“2013”在射 线__O__C__上.
方法技巧 通过观察、分析、综合、归纳、概括、推理、判断等一 系列探索活动,解答有关探索规律的问题,探索规律性问题 的特点是问题的结论或条件不直接给出,需要逐步确定所求 的结论和条件.

直线、射线、线段:
1.如图 4-3 所示,A,B,C 是一条公路上的三个村庄, A,B 间路程为 100 km,A,C 间路程为 40 km,现在 A,B 之间建一个车站 P,设 P,C 之间的路程为 x km.
(1)用含 x 的代数式表示车站到三个村庄的路程之和; (2)若路程之和为 102 km,则车站应建在何处? (3)若要使车站到三个村庄的路程总和最小,问车站应建 在何处?最小值是多少?

[解析] (1)分情况讨论; (2)令(1)中所求得的代数式的值为 102,求得 x 即可; (3)路程和最小,那么 x 应最小,此时为 0,P 与 C 重合.
解:(1)当 P 在 C 右侧时,路程之和为 PA+PC+PB=40 +x+x+100-(40+x)=(100+x)(km);当 P 在 C 左侧时,路 程之和为 40-x+x+100-(40-x)=100+x(km).
(2)100+x=102,x=2,车站在 C 左、右两侧 2 km 处均 可;
(3)当 x=0 时,x+100=100,车站建在 C 处时路程和最 小,路程和为 100 km.

2.如图 4-4,A、B、C 是三个居住人口数量相同的住 宅小区的大门所在位置,且 A、B、C 三点共线,已知 AB =120 米,BC=200 米,E、F 分别是 AB、BC 的中点,为 了方便三个小区的居民出行,公交公司计划在 E 点或 F 点 设一公交停靠站点,为使从三个小区大门步行到公交停靠点 的路程之和最小,你认为公交车停靠点的位置应设在哪里, 为什么?
[解析] 根据图示,先分别计算从三个小区大门步行 到公交停靠点 E、F 的路程之和,然后比较一下大小, 路程小的即为所求.

解:因为 E、F 分别是 AB、BC 的中点,AB=120 米,BC =200 米,
所以 AE=BE=60 米,BF=CF=100 米; 当公交公司在 E 点设一公交停靠站点,则从三个小区大门 步行到公交停靠点的路程之和为:
AE+BE+CE=AB+BC+BE=120+200+60=380(米); 当公交公司在 F 点设一公交停靠站点,则从三个小区大门 步行到公交停靠点的路程之和为:
AF + BF + CF = AB + BF + BC = 120 + 100 + 200 = 420(米);
因为 380<420, 所以公交车停靠点的位置应该是点 E 处;

3.已知 A、B、C 三点在一条直线上,如果 AB=a,BC =b,且 a<b,求线段 AB 和 BC 的中点 E、F 之间的距离.
解:根据题意,当 B 在 A、C 之间时,画图如下.
因为 E、F 分别是 AB、BC 的中点,所以 EB=12AB,BF=12BC. 又因为 EF=EB+BF,所以 EF=12(AB+BC). 因为 AB=a,BC=b,且 a<b,所以 EF=12(a+b). 当 C 点在 B 点左侧时,易知 EF=12(b-a).

角:

1.操场上,小明对小亮说:“你在我的北偏东 30°方向

上 ” , 那 么 小 亮 可 以 对 小 明 说 : “ 你 在 我 的 ________ 方 向

上.”( A )

A.南偏西 30°

B.北偏东 30°

C.北偏东 60°

D.南偏西 60°

2.在一次航海中,在一艘货轮的北偏东 54°的方向上有一 艘渔船,那么货轮在渔船的_南__偏__西__5_4_°_方向上.

3.计算: (1)90°-45°32″;(2)6°32′25″×7.
解:(1)44°28′. (2)45°46′55″.
4.如图 4-6,∠BOE=∠EOC=90°,∠BOC=3∠1, OD *分∠AOC,则∠2 的度数是( A )
A.30° B.40° C.60° D.以上结果都不正确
5.如图 4-7 所示,∠AOC=∠BOD = 90°,∠BOC= 32°,那么 ∠ AOD 等 于 ( A)
A.148° B.132° C.128° D.90°

6.用一副三角尺可以拼出大小不同的

角,现将一块三角尺的一个角放到另一块三

角尺的一个角上,使它们的顶点重合,且有

一边也重合,如图,则图中∠α 等于( A )

A.15°

B.20°

C.25°

D.30°

[解析] 由图可知,∠α=60°-45°=15°.

7.如图,将一副三角板的直角顶点重合,若∠AOD=100°, 则∠BOC=__8_0_°____.
[解析] 根据题意,易得∠AOB+∠COD= 180°,
即∠AOC+2∠BOC+∠BOD=180°, 而∠AOD=100°, 即∠AOC+∠BOC+∠BOD=100°, 则∠BOC=180°-100°=80°.

第五章 一元一次方程

知识归纳
1.方程的有关概念 (1)方程:含有_未__知__数___的__等__式___叫做方程; (2)方程的解:使方程左右两边相等的_未__知__数__的值,叫 做方程的解; (3)一元一次方程:在一个方程中,只含有__一___个未知 数,且未知数的指数都是___1___,这样的方程叫做一元一次 方程.

2.解方程 (1)等式的基本性质:①等式两边同时加上(或减去)同一个
__代__数__式___,所得结果仍是等式; ②等式两边同时乘同一个数
(或除以同一个不为 0 的数),所得结果仍是等式.
(2)移项:把方程中的某一项_改__变___符__号__后,从方程的一
边移到另一边,这种变形叫做移项.
(3)解一元一次方程的步骤:①去分母;②去括号;③移
项;④_合__并__同__类__项___;⑤未知数的系数化为 1.

3.主要的几种等量关系 (1)数字之间的规律; (2)形积变化问题:几何体或几何图形变化前后的体积不 变、面积不变、周长不变等; (3)利润=售价-进价=进价×__利__润__率___; (4)相遇问题:行程之和=距离; 追及问题:行程之差=距离; (5)本金+本金×利率×期数=__本__息__和___.

考点攻略
?考点一 一元一次方程及等式性质 若 kx3-2k+2k=3 是关于 x 的一元一次方程,则 k
=______1______. [解析] 因为 kx3-2k+2k=3 是关于 x 的一元一次方
程,所以未知数 x 的指数为 1,且系数 k 不等于 0.即 3- 2k=1,解得 k=1.
易错警示 一元一次方程必须满足三个条件:一是只含有一个 未知数;二是未知数的指数是 1;三是未知数的系数不 能为 0.三个条件缺一不可.

?考点二 解一元一次方程
解方程:5(x-5)+2x=-4.
[解析] 方程中没有分母,应按照去括号、移项、合 并同类项、未知数系数化为 1 的步骤进行.
解:去括号,得 5x-25+2x=-4, 移项,得 5x+2x=25-4, 合并同类项,得 7x=21, 系数化为 1,得 x=3.

方法技巧 解一元一次方程的一般步骤:

变形名称 去分母
去括号
移项
合并同 类项
系数化 为1

具体做法

变形依据

方程两边同时乘各分母的 最小公倍数

等式基本性质 2

先去小括号,再去中括号, 去括号法则、乘法分

最后去大括号(做法不惟一)

配律

含未知数的项都移到方程

的一边,其他项移到方程的 等式基本性质 1

另一边(移项要改变符号)

把方程化为 ax=b(a≠0)的 形式

合并同类项法则

方程两边同时除以未知数 的系数 a

等式基本性质 2

?考点三 一元一次方程的应用
某会议厅主席台上方有一个长 12.8 m 的长条形(矩形) 会议横标框,铺红色衬底.开会前将会议名称用白色厚纸 刻出来贴于其上.但会议名称不同,字数一般每次都多少 不等,为了制作及贴字时方便美观,会议厅工作人员对有 关数据作了如下规定:边空∶字宽∶字距=9∶6∶2,如 图 5-1 所示.

根据这个规定,求会议名称的字数为 18 时,边空、 字宽、字距各是多少?
解:设边空、字宽、字距分别为 9x cm、6x cm、2x cm, 则 9x×2+6x×18+2x(18-1)=1280, 解得 x=8. 所以边空为 72 cm,字宽为 48 cm,字距为 16 cm.
易错警示 列方程解应用题时常出现的错误有:(1)审题不清,没 有弄清各个量所表示的意义;(2)列方程时出现错误;(3)应 用公式错误;(4)没有统一单位;(5)计算方法出现错误.

等式的性质:
1.下列运用等式的性质变形正确的是( B ) A.若 x=y,则 x-5=y+5 B.若 a=b,则 ac=bc C.若ac=bc,则 2a=3b D.若 x=y,则xa=ay
2.下列等式变形正确的是( C ) A.如果 s=12ab,那么 b=2sa B.如果12x=6,那么 x=3 C.如果 x-3=y-3,那么 x-y=0 D.如果 mx=my,那么 x=y

一元一次方程
1.已知(m-3)x|m|-2=18 是关于 x 的一元一次方程,则( B ) A.m=2 B.m=-3 C.m=±3 D.m=1
2.关于 x 的方程(k-1)x-3k=0 是一元一次方程,则 k__≠_1_______.
3.已知关于 x 的方程(m-3)xm+4+18=0 是一元一次方程. 试求:(1)m 的值及方程的解; (2)2(3m+2)-3(4m-1)的值.

[解析] (1)根据未知数的指数为 1,系数不为 0 求解. (2)将(1)求得的 m 的值代入即可.
解:(1)由一元一次方程的特点得 m+4=1,m-3≠0, 解得 m=-3.
故原方程可化为-6x+18=0,解得 x=3. (2)2(3m+2)-3(4m-1)=-6m+7,把 m=-3 代入, 原式=-6m+7=18+7=25.

解一元一次方程: 1.若 x2+|y+8|=0,则 x=____0____,y=___-__8___. 2.在 2x-3y=12 中,若 x=1.5,则 y=__-__3____.

一元一次方程的应用:
1.甲、乙两人练*短距离赛跑,测得甲每秒跑 7 米,乙 每秒跑 6.5 米,如果甲让乙先跑 2 秒,那么几秒钟后甲可以 追上乙,若设 x 秒后甲追上乙,列出的方程应为( B )
A.7x=6.5 B.7x=6.5(x+2) C.7(x+2)=6.5x D.7(x-2)=6.5x
[解析] 设 x 秒后甲追上乙,根据等量关系:甲 x 秒所跑 的路程=乙 x 秒所跑的路程+乙 2 秒所跑的路程.列方程得: 7x=6.5(x+2).

2.我们小时候听过龟兔赛跑的故事,都知道乌龟最后 战胜了小白兔.如果在第二次赛跑中,小白兔知耻而后勇, 在落后乌龟 1 千米时,以 626 米/分的速度奋起直追,而乌龟 仍然以 1 米/分的速度爬行,那么小白兔大概需要____1_.6_____ 分钟就能追上乌龟.
[解析] 设小白兔大概需要 x 分钟就能追上乌龟, 根据题意可得 626x=x+1000, 解得 x=1.6,那么小白兔大概需要 1.6 分钟就能追上乌龟.

3.已知甲、乙、丙三人各有一些钱,其中甲的钱是乙的 2

倍,乙比丙多 1 元,丙比甲少 11 元,求三人的钱共有多少元

( D) A.30

B.33

C.36

D.39

4.根据图 5-2 中提供的信息,可

知一个杯子的价格是( C )

A.51 元 B.35 元

C.8 元

D.7.5 元

5.如图 5-3 中标有相同字母的物体的质量相同,若 A 的质量为 20 克,当天*处于*衡状态时,B 的质量为 ___1_0______克.

6.甲、乙两人从相距 240 千米的两地同时出发,相向而 行,3 小时相遇,已知甲每小时行 50 千米,乙每小时行多少 千米?
[解析] 设乙每小时行 x 千米,根据甲、乙两人从相距 240 千米的两地同时出发,相向而行,3 小时相遇,已知甲 每小时行 50 千米,可列方程求解.
解:设乙每小时行 x 千米, 3(50+x)=240,x=30. 故乙每小时行 30 千米.

7.甲、乙两人骑自行车,同时从相距 65 千米的两地 相向而行,甲的速度是 17.5 千米/时,乙的速度为 15 千米/ 时,经过几小时,两人相距 32.5 千米?
[解析] 两人相距 32.5 千米应该有两次: 还未相遇时相距 32.5 千米,等量关系为:甲走的路程+ 乙走的路程=(65-32.5)千米; 相遇后相距 32.5 千米,等量关系为:甲走的路程+乙走 的路程=(65+32.5)千米.

解:本题有两种情况:
第一次相距 32.5 千米, 设经过 x 小时两人相距 32.5 千米,根据题意得:(17.5+ 15)x=65-32.5, 解得:x=1; 第二次相距 32.5 千米, 设经过 x 小时两人相距 32.5 千米,根据题意得:(17.5+ 15)x=65+32.5, 解得:x=3. 答:经过 1 小时或 3 小时两人相距 32.5 千米.

第六章 数据的收集与整理

知识归纳
1.扇形统计图 利用圆和扇形来表示总体和部分的关系,即用圆代表 _总__体___,圆中的各个扇形分别代表__总__体__中__的__不__同__部__分__,扇 形的大小反映部分占总体的_百__分__比__的大小. 2.扇形统计图的作用 一是利用扇形统计图中的数据,可以知道谁占的比重 大,谁占的比重小,各部分之间的_大__小___关系和差距,帮助 我们做出正确、合理的决策;二是知道总体的具体数量时, 可以求出各部分的数量,知道某一部分的具体数量时,也可 以求出总体的数量.

3.扇形统计图中各个扇形的圆心角的度数 扇形统计图中各个扇形的圆心角的度数=
360°×该部分占总体的百分比. 4.制作扇形统计图的方法
(1)计算各部分占总体的__百__分__比___;(2)计算各部分对应的 扇形的__圆___心__角__的__度__数____;(3)画出扇形统计图,标*賍__分__比__.
5.三种常见的统计图 __条__形__统计图、_折__线___统计图、扇形统计图.
6.三种统计图的特点 (1)条形统计图:能清楚地表示出各部分的具体数目; (2)折线统计图:能清楚地反映事物的变化情况; (3)扇形统计图:能清楚地表示出各部分在总体中所占的 百分比.

考点攻略
?考点 扇形统计图
某生态示范园要对 1 号、2 号、3 号、4 号四个品种 共 500 株果树幼苗进行成活实 验,从中选出成活率高的品种 进行推广. 通过实验得知,3 号果树幼苗成活率为 89.6%. 把实验数据绘制成下列两幅统 计图(部分信息未给出):
(1)实验所用的 2 号果树幼苗的数量是________株; (2)请求出 3 号果树幼苗的成活数,并把图②的统计 图补充完整; (3)你认为应选哪一品种进行推广?请通过计算说明 理由.

[解析] (1)从扇形统计图中求出 2 号果树幼苗所占的百分 比;(2)3 号果树幼苗所占的百分比×500×3 号果树幼苗成活 率 89.6%=3 号果树幼苗成活数;(3)比较各幼苗的成活率.

解:(1)100

(2)500×25%×89.6%=112(株).

(3)1

号幼

苗成活率为

135 150

×100%

=90%;

2 号幼苗成活率为18050×100%=

85%;

4 号幼苗成活率为111275×100%=

93.6%,

因 为 93.6% > 90% > 89.6% >

85%,

所以应选择 4 号品种进行推广.

方法技巧 准确理解题意,充分利用扇形统计图和条形统计图、折线 统计图的信息互补是解答此类题目的关键.

统计图的应用:
1.如图 6-3 所示,反映的是某市某中学八年级(6)班学生 参加音乐、美术、体育课外兴趣小组人数的条形统计图(部分) 和扇形统计图.

则下列说法错误的是( C ) A.八年级(6)班参加这三个课外兴趣小组的学生总人 数为 30 人 B.八年级(6)班参加音乐兴趣小组的学生人数为 6 人 C.在扇形统计图中,八年级(6)班参加音乐兴趣小组 的学生人数所在的圆心角度数为 82° D.若该校八年级参加这三个兴趣小组的学生共有 200 人,那么估计全年级参加美术兴趣小组的学生约有 60 人

2.如图 6-4 是七年级(1)班参加课外兴趣小组人数的扇形 统计图,则表示唱歌兴趣小组人数的扇形的圆心角度数是

(B) A.36°

B.72°

C.108°

D.180°

3.如图 6-5,是某校三个年级学生 人数分布扇形统计图,则九年级学生人数 所占扇形的圆心角的度数为__1_4_4_°___.

4.如图 6-6 是某市第一季度用电量

的扇形统计图,则三月份用电量占第一

季度用电量的百分比是( B )

A.55%

B.65%

C.75%

D.85%

5.八年级若干名学生参加“学雷锋活动”歌唱比 赛,比赛成绩如图 6-7,请根据该图回答下面问题:

(1) 参 加 比 赛 总 人 数 是 ____2_0___人;
(2) 数 据 分 组 时 , 组 距 是 ____1_0___分;
(3)估计这次比赛*均成绩 是__7_1_._5___分.

6.为了了解某班学生参加敬老活动的情况,对全班每一 名学生参加活动的次数(单位:次)进行了统计,分别绘制了如 下的统计表和频数分布直方图(如图 6-8).
次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 0 1 3 3 3 4 9 6 0
请你根据统计表和频数分布直 方图解答下列问题:
(1)补全统计表; (2)补全频数分布直方图; (3)参加敬老活动的学生一共有多少名?
解:(1)表中从左往右依次为 3,1. (2)略 (3)33 名.

7.在数据统计中, 条形统计图,扇形统计 图,折线统计图和直方 图各有特点,下列各图 中,能够很好地显示数 据的变化趋势的统计图 是( C )
[解析] 根据折线统计图的意义,知其表示的是 事物的变化情况,能够很好地显示数据的变化趋势, 故选 C.

8.如图 6-10 是某市 2002~2012 年城乡居民人均年收
入统计图,请根据统计图回答下列问题: (1)城镇居民人均年收入
超过 12000 元的有哪几年? (2)十一年来,城镇居民人
均年收入与农民人均年收入增 长速度哪一个快?
(3)2013 年城镇居民人均年 收入与农民人均年收入分别以 10%与 8%的增长率增长,2013 年城镇居民人均年收入与农 民人均年收入各是多少?(结果保留整数)

解:(1)2010 年,2011 年,2012 年三年的城镇居民 人均年收入在 12000 元以上.
(2)城镇居民收入增长速度快一些. (3)15342×(1+10%)=16876.2≈16876(元). 5208×(1+8%)=5624.64≈5625(元). 答:2013 年城镇居民人均年收入是 16876 元,农民 人均年收入是 5625 元.

同学们, 今天你有哪些收获?




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