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高阶线性常微分方程非振动解的零点个数问题

发布时间:

第 31卷 第 1 期 2010 年 2月

河南科 技大学学报: 自然科学版 Journa l ofH enan U niversity of Sc ience and T echno logy : N atura l Sc ience

V o.l 31 N o . 1 Feb . 2010

文章编号: 1672- 6871( 2010) 01- 0085- 03

高阶线性常微分方程非振动解的零点个数问题
李 展 ,张
威海 264209) 摘要 : 研究了含有一个参数的高阶线性常微分方程的有界 非振动解零 点个数问题 , 将二 阶线性常微 分方程 中 有界非振动解零点个数问题的结论推广到 高阶线性常微分方程情况上。 关键词 : 非振动解 ; 解的零点 ; 奇异特征值 中图分类号 : O175. 14 文献标识码 : A
1

荣 ,王

2



3

( 1. 郑州 大学 数学系 , 河南 郑州 450052 ; 2 . 洛阳理工学院 数理部 , 河南 洛阳 471023; 3. 哈尔滨工业大学 数学系 , 山东

0 前言
*年来 , 国内外有许多学者研究过常微分方程非振动解的零点个数问题 , 比如文献 [ 8]讨论了 ( 2) 常微分方程 x + p ( t )x = 0 , 并给出了计算非振动解零点个数问题的精确方法 P r fer 变换。 文献 [ 9 ] 通过不同的方法推广了文献 [ 8 ] 的工作 , 研究了 n是偶数时的高阶线性常微分方程 x 非振动解的零点个数问题。 本文研究的是 n 为奇数时的以下高阶线性常微分方程 x - p ( t) x = 0 (L ) 的非振动解的零点个数问题, 并且进一步得出了一些新的结果。 考虑高阶线性常微分方程 (L ) 满足下 列基本假设 : ( a) n 3 是奇数。 a 时, p ( t)
a (n) (n) [ 1- 9]

+ p ( t )x = 0的

( b) > 0 是一个参数。 ( c) p ( t) 在 [ a, + ) 上连续, 且 t
+

0, ( a ,

0 )。 ( 1)

再假设 p ( t) 满足:

!t
t?

n- 1

p ( t) d t < + ) 使得 : ) = 1 。

在条件 ( 1)之下, 方程 (L ) 有有界非振动解 x ( t ; li m x ( t;

( 2) ) 的零点个数问题。

本文感兴趣的是计算方程 ( L ) 满足极值边界条件 ( 2)的非振动解 x ( t;

1 主要结果
引理 1 若 x ( t ; ) 是方程 (L ) 的满足式 ( 2) 的解 , 则 x ( t ; x(t ; ) = 1( s - t)
n- 1 t

) 满足积分方程 : ) ds 。 ( 3) ),

!( n - 1)! p ( s) x ( s;

定理 1 如果条件 ( 1)成立, 则对于每一个 且 x ( t; 证 设
(n)

> 0 , 方程 ( L ) 有满足式 ( 2) 的唯一确定的解 x ( t ;

) 与他的关于 t的导数 x ( t ; ) 都是 [ a, ] # ( 0 , ) 上的连续函数。 对于所有充分大的 t , 记 (L ) 满足式 ( 2) 的解为式 ( 3) 。 > 0 固定 , T a, 使得 :
T

s !

n- 1

p ( s) d s ?

( n - 1)! , 2

基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( 10171010) ; 教育部科学技术研究重点项目 ( 01061 ) 作者简介 : 李 展 ( 1981- ) , 女 , 河南郑州人 , 讲师, 硕士 . 收稿日期 : 2009- 04- 07

86 记 C b ( [ T, 定义范数: ) #(0 ,

河 南科技大学学报: 自然科学版

2010 年

] ) 是包含所有 [ T,

) # (0 ,

] 上的有界连续函数 x ( t;

) 的 Banach空间,

, ] }。 x = sup{ x ( t ; ) : ( t; ) % [ T, ) # ( 0 以下分别定义 C b ( [ T, ) # (0 , ] ) 的子集 X 和映射 M: X ? C b ( [ T, ) # (0 , X = {x % C b ( [ T, (M x ) ( t; 易证 M (X ) ) = 1) # (0 , ] ): 1 ? x ( t; 2
n- 1

] ) 为: ] }, ]。

),

(t ,

) % ) %

[ T, [ T,

) # (0 , ) # (0 ,

!
t

( s - t) p ( s )x ( s; ( n - 1 )! Mx - M y ?

) ds , ( t,

X, 且对所有 x, y % X 有 : 1 x- y 。 2 ) % X。 容易看出: 对于每一个
~

根据压缩映射原理, 映射 M 有唯一不动点 x ( t; 是定义在区间 [ T,
~ ( i) i- 1

~

% (0 ,

], x ( t ;

~

)

) 上的 ( L ) 的解且满足式 ( 3 )。 于是 , x ( t; x ( t; ) = ( - 1) ( s - t)
n- i- 1 t

) 关于 t的导数:
~

!( n - i - 1 )! p ( s) x ( s;
% (0 ,

) ds ] 上的 (L ) 的解 x ( t ; ) 上连续 , 证毕。 ),

在 [ T, % (0 , 的解 x ( t;

) #(0 ,

] 上是连续的。 由延拓定理, 可以得到定义在整个区间 [ a, 0是任意的 , 从而对于所有 )和x
( i)

)。 又因为 ), 而且 x ( t;

), 可以找到方程 (L ) 满足式 ( 2) 的唯一 ) # (0 , ) 上有有限个零点。为了 ) 在区间 [ T, ) 上没有

( t;

)(i= 1 , 2 , &, n - 1 ) 都在 [ a,

下面假设 x ( t; ) 是定理 1中给定的 (L ) 的解, 在任意给定的区间 [ a, 证明定理 2 , 先给出以下几个命题 : 命题 1 对于任意 > 0 , 存在 T %
( i)

a, 使得对于任意的 (0 , ( t;
*

% (0 ,

), x ( t ;

零点。 命题 2 存在

*

> 0 , 使得当 > 0 , x ( t;
t?

) 时, x ( t ;

) 在区间 [ a,

) 上没有零点。

命题 3 对于每一个

) 满足: ) = 0 , (i= 1 , 2 , &, n - 1), ( s - t) p ( s) x ( s; t ( n - 1 )! ) 的零点都是单的。
*

limx

且 命题 4 对于每一个 命题 5 固定 [ , !] 至少有一个根。

x ( t;

) = 1-

!

n- 1

) ds, t % (
*

a。

( 4) ) 在区间 [ , !] 上

> 0 , x ( t; [ a,

), 则存在

> 0使得对所有

,

), x ( t;

定理 2 若条件 ( 1) 成立 , 则存在正参数列 { k } k= 1 满足下列性质: ( ? ) 0 = 0 < 1 < & < k- 1 < k < &, k l m k = 。 i ? ( ( ) 如果 % ( k- 1, k ), k = 1 , 2 , &, 那么 x ( t; ) 在区间 [ a, ) 上至多有 k - 1 个零点。 ( ) ) 若 = k, k = 1 , 2, &, 则 x ( t; ) 在区间 [ a , ) 上恰有 k - 1 个根 , 且 x ( a; ) = 0 。 证 设
+ k

= { % (0 , %
+ k

): x ( t,
+ k

) 在开区间 ( a,
*

) 上至少有 k个根 }, k = 1 , 2 , &。 根据命题 5 , >
+ k *

+ k

非空。 由命题 2 , 对所有 有 {
j k

, 存在
+ k+ 1

> 0 , 使得
k

> 0 。 设:

= in f ,
k+ 1

k

*

> 0 。 由于
j k

, 从而有
j k

k

?
j k j k

, k = 1 , 2 , &。 对于每一个 k = 1 , 2 , &, 选择子列 , x ( t;
j k j k

} j = 1, 使得
j k

%

+ k

( j = 1, 2 , & ) 且有 j? lim

=

k

), 在开区间 ( a, ,

) 上至少有 k 个根。 设:

a < t ( 1 ) < t ( 2) < & < t ( k) < 是 x ( t;
j? k

) 的 k 个根。 根据命题 1 , 这 k 个根在区间 [ a , T k ] 上, 这里 T k 依赖 k 而不依赖 j , j 存在子列 j ?使
j?

得 { t ( 1) }, &, { tk ( k ) } 分别有有限极限 tk ( 1 ), &, tk ( k ), ( j ?? 由 x ( t;

)。 于是 :

a ? tk ( 1 ) ? tk ( 2 ) ? & ? tk ( k ) ? T k 。 ) 的连续性知 tk ( 1), &, tk ( k ) 是 x ( t; ) 的根。 假设存在 m = 1 , 2 , &, k - 1 , 使得 tk (m ) =

第 1期


j? j? k

展等 : 高阶线性常微分方程非振动解的零点个数问题

87

tk (m + 1 ) 可知 x ( tk (m ); 使得 x ?( ? ;
j? k

) = x ( tk (m + 1 ); ?%
j? k

j?

j? k

) = 0 , 因此存在 :
j?

( t (m ), tk (m + 1 ) ), ) 都连续 , 所以有 x ( tk (m ); tk ( 2) ? & ? tk ( k) ? 。 ) 连续, 是
+ k

) = 0 , 又因为 x ( t;
k

) 和 x ?( t; a? tk ( 1 ) ?

) = 0且 x ?( tk (m );

) = 0 。 这

就是说 t = tk (m ) 是 x ( t;

) 的重根 , 与命题 4 矛盾。 因此可得到 : ) 在开区间 ( a, ) 上至少有 k 个根 tk ( 1 ), &, tk ( k ) 。 因为 x ( t ; ) 上至少有 k 个根。 这与
k

假设 a ? tk ( 1 ), 那么 x ( t; 对 于所有充分靠*
k

的 来说 , x ( t;

) 在开区间 ( a,

的下确界矛盾,

所以 a = tk ( 1 ), 因此 : a = tk ( 1 ) ? tk ( 2) ? & ? tk ( k) ? 。 于是 x ( t; k ) 在开区间 ( a, ) 上至少有 k - 1个根, 记为 tk ( 2 ), &, tk ( k ) 。 如果 x ( t ; ) 上有 k 个或更多的根话 , 这与 明
k k k

) 在区间 ( a,

的定义矛盾, 所以 x ( t;

k

) 在开区间 ( a,

) 上恰有 k - 1个根, 这说

=

k+ 1

不成立, 因此有 :
k

可以断言 k li m ? * 的 , x ( t;
k

=

0< 1 < 2 < & < 。 假设 { k } 有有限极限 (k ?

k

< &。 )。 根据命题 1 , 存在 T > 0使得所有充分接
k

) 在区间 [ T,

) 上没有根。 设 N 是任意正整数, 显然对于所有充分大的 k, x ( t;

)在

区间 [ a, T ] 上至少有 N 个根 , 那么 x ( t; ) 在区间 [ a, T ] 上至少有 N 个根。 由于 N 是任意的 , 说明 x ( t; ) 在区间 [ a, T ] 上有无限多个根, 产生矛盾, 所以 k l m k = 。 i ? 上面的讨论显然说明 {
k

} 满足定理 2 中的性质 ( ? ) ~ ( ) ), 证毕。 a;
( i)

由定理 2 , 如考虑下面的奇异特征值问题 : ( n) x - p ( t) x = 0 , t x ( a) = 0 , 并且还可得出以下推论: li mx t?

( t) = 0 , ( i = 1, 2 , &, n - 1 ) 。 } k= 1 满足 0 <
k

( 5)

推论 1 对于式 ( 5) 的奇异特征值问题, 如果条件 ( 1)成立, 那么存在数列 { < &<
k k

k

1

<

2

< &, k ? li m

k

=

, 且对于

=

, 2 , & ), 问题 ( 5 ) 有非*凡解 x = x ( t; k( k= 1

), x = x ( t;

) 在区间 ( a,

) 上恰有 k - 1 个根。

2 结论
本文将二阶线性常微分方程中有界非振动解零点个数问题的结论推广到 n 为奇数时高阶线性常微 分方程情况上, 补充了以往文献中关于 n 是偶数时的相关结果。 参考文献:
[ 1] [ 2] [ 3] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] [ 9] K usano T, N a ito Y. O sc illa tion and N onoscillation Cr iteria fo r Second O rder Qusilinear D ifferen tia l Equa tions[ J]. A c ta M a th, H ungar 1997, 76: 81- 99. K usano T, N a ito M, T aniga waT . Second O rder H a lf L inear E igenva lue P roble m s[ J]. Fukuoka Un iv Sci R ep, 1997, 27: 1- 7. E lias U, P inkus A. N ono sc illation E igenva lue P roble m s for a C lass of O rdinary D ifferentia l Equations[ J] . P roc R So c Edinb , 2002 , A 132: 1333- 1359 . 周 丹 . 微分方程的非振动解中零点个数 [ D ]. 长春 : 东北师范大学 , 2008. 翠 , 吴玉森 . B anach 空间 中的 一类二 阶 n 点边 值问题 [ J]. 河南 科技大 学学 报 : 自然科 学版 , 2009, 30 李培峦 , 张 ( 4): 90- 92 . Po sly O. O sc illa tion Cr iteria for H a lf linear Second O rder D ifferentia l Equa tions[ J]. H irosh i m aM a th, 1998, 28 : 507- 521. K usano T, N atio M. Singular E ig envalue P roble m s for Second O rder L inear O rd inary D ifferentia l Equations[ J] . A rch M ath ( B rno ), 1998, 34: 59- 72. M anabu N a ito . O n the N umber o f Zeros of N onosc illa to ry So lutions to H igher order L iner O rd inary D ifferen tia l Equations [ J] . M ona tsh M ath , 2002, 136: 237- 242 .

No . 1

CONT ENT S AN D A BSTRACTS

+ , +

YAO L i L in g , L IU Sh i Duo, SH I Q ing X iang, N I Chang An , ZHOU Xue Jian, WANG Fa Chang ( Veh icle& M otive P ow er Engineering College, H enan University of Science& T echnology, Luoyang 471003 , China ) Ab strac: t In order to recycle the dry corn sta lk s rap id ly , cond ition ing lik e fracturing and lacerat io n on co rn stalks need to be finished a fter pick ing corn ears. In this paper , ana lysis o f the backpack corn harvester structure has been m ade to deter m ine the condition ing equ ipm ent w ith its support ing equ ip m en . t By using the changes in w ater conten t o f corn straw as pilot in dicators , and the gap o f condit io n ro lls and roll speed as test facto rs to do a double factor tes, t th e opti m al param eter com binat io n is found ou. t Th is can be an accordance for ex tend ing stalk condition ing function on the corn harvester . Key wo rds : Backpack corn harvester ; Corn stalk; Cond ition ing equ ipm en;t Doub le factor experi m ent CLC num be r : S225 . 51 Docum ent code: A Artic le I D: 1672 6871( 2010) 01 0074 03 Estab lishmen t and Eva lua tion on Experimen ta l M ode l of D rying for Ch inese Yam ………… ( 77 ) CH EN Y an Zhen , REN Guang Yue, ZHANG Zhong X in, HUA Chun Guang ( F ood & B ioengineering College, H enan University of Science& T echnology, Luoyang 471003 , Ch in a) Ab strac: t Experi m ental m odels o f drying for Chin ese yam w ere invest ig ated in th is paper . Three experient ia l th in layer drying m odels w ere ana lyzed. The resu lt revea led that Page equat io n w as m ore su itab le to express Chinese yam dry ing than m onom ial pro liferation m odel and the exponential m ode. l A t the sam e ti me , coeffic ients o f the P age equation w ere ob tained , and analysis of variance w as sig nifican.t Key wo rds : Chinese yam; Dry in g m ode;l Eva lu ation CLC num be r : S632 . 1 Docum ent code: A Artic le I D: 1672 6871( 2010) 01 0077 04 C lon ing and B io inform a tics Ana ly sis o f Lush i Ch icken In te rleuk in 21 Gene ………………… ( 81 ) ZHANG Xu, ZHANG Chun Jie , L I Y in Ju , CH ENG X iang Chao , WU T in g C a, i YU Chuan ( C ollege of Anim al Science& T echnology, H enan University of Science& T echnology, Luoyang 471003 , China) Ab strac: t A pair o f pri m ers w ere designed for clon ing IL 21 gene from to ta l RNA of peripheral b lo od lymphocytes o f Lush i ch icken st i m u lated by Con A via RT PCR technology. Lush i chicken IL 21 gene and the pro tein w ere analyzed by a variety of b io log ica so ft w are . The m o lecular m odel o f three d i m ensio na l structure o f th e IL 21 protein w as pred icted . The results revea led that the IL 21 gene of L ushi ch icken is consistently 438bp in length , encoding fo r a predicted po ly pept id e of 145 am ino ac id residues, in cluding a sig nal peptide w ith 19 am in o acid residues . The gene is located on chrom osom e 4 betw een 55 218 k and 55 224 k . The gene encodes a 16 . 67 kD prote in wh ich is a hydroph ilic basic protein . The pred icted tertiary structure o f the prote in show s th at Lush i chicken IL 21 pro te in conta in s random co il and four helix. T his structure is si m ilar w ith hum an I L 21 pro tein . H om o lo g ies of IL 21 am ino ac id sequence bet w een Lush i chicken and ano th erm a mm alian are all less than 35 %. Key wo rds : Lush i chicken ; Interleuk in 21 ; C lon in g ; B io in form atics CLC num be r : Q 785 Docum en t code: A Artic le I D: 1672 6871( 2010) 01 0081 04

+ Mathematics and Physics+
Ze ro Num ber o f Nonosc illa to ry So lu tions for H ighe r o rder L ine r O rd inary D ifferentia l Equa tions ……………………………………………………………………………………………………… ( 85 ) 1 2 3 L I Zhan , ZHANG Rong , WANG K e (1 . D epartm ent of M athe m atics , Zhengzhou University, Zhengzhou 450052 , China; 2 . Depart m ent of M athematics& P hysics, Luoyang Institute of Science& T echnology, Luoyang 471023 , China; 3 . D epartm ent of M athematics , H arbin Institute of T ecnology, W eihai 264209 , Ch ina ) Ab strac: t T h is paper is concerned w ith th e problem of counting the num ber of zeros of bounded nonoscillatory solutions to h ig her order lin er ordin ary differential equations , in vo lving a para m eter . T he results for the second order case is still va lid for the higher order liner ord in ary differentia l equatione case. Key wo rds : N onosc illatory so lu tio ns ; Zero o f solution ; Singu lar eigenvalue prob le m CLC num be r : O175 . 14 D ocum en t code :A Artic le I D: 1672 6871( 2010) 01 0085 03 Fabrica tion and F ie ld Em ission Properties o f D iamond M ic rocrysta lline agg rega te ………… ( 88 ) 1 2 1 CH ENG Chun X ia o , GAO Jin H ai , ZHANG Y ong Sheng (1 . D epartm ent of M athe m atics & Phy sics , Luoyang Institu te of Science & T echnology, Luoyang 471023 , China; 2 . D epartm ent of P hysics, Zhengzhou T eachers Co llege, Zhengzhou 450044 , China ) Ab strac: t T he d iam ond m icrocrystallin e aggregates fil m s w ere fabricated on the ceram ic substrates usin g the m icrow ave p lasm a chem ica l vapor depositio n . T he surface m orpho logy of the as fabricated m a terials w as character ized by m eans o f scann ing e lectron m icroscopy ( SEM ). It is found that the un its have a si m ilar size and un iform distribution . The X ray diffraction ( XRD ) and Ram an scattering spectroscopy w ere used to id entify the crystal nanostructures. T he f ie ld e m ission propert ie s w ere tested by a d io de structure in a vacuum




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