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高考数学二轮复* 专题五 解析几何 规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系学案 文

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亲爱的同学:这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获,我们一直投给你信任的目光……
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规范答题示例 6 直线与圆锥曲线的位置关系

典例 6

(12

分)在*面直角坐标系

xOy

中,已知椭圆

C:xa22+yb22=1(a>b>0)的离心率为

3 2,

且点??? 3,12???在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)设椭圆 E:4xa22+4yb22=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 A,

B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.

①求||OOQP||的值;②求△ABQ 面积的最大值.

审题路线图 (1) 椭圆C上点满足条件 ―→ 得到a,b的关系式 已知――a离2―=心―b率―2+―e=―c2→23

基本量法求得椭圆C的方程

(2)① P在C上,Q在E上 ―P共,―线→Q 设坐标代入方程 ―→ 求出||OOQP||

② 直线y=kx+m和椭圆E的方程联立 ―通―法→ 研究判别式Δ 并判断根与系数的关系

―→ 用m,k表示S△OAB ―→ 求S△OAB的最值 S―△A―BQ利和――用S△―①O―AB的―得―关→系 得S△ABQ的最大值

规 范 解 答·分 步 得 分

构建答题模板

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31

a2-b2 3

解 (1)由题意知a2+4b2=1.又 a = 2 ,

解得 a2=4,b2=1.所以椭圆 C 的方程为x42+y2=1.2 分

(2)由(1)知椭圆

E

x2 y2 的方程为16+ 4 =1.

第一步 求圆锥曲线方程:根 据基本量法确定圆锥 曲线的方程.

①设 P(x0,y0),||OOQP||=λ ,由题意知 Q(-λ x0,-λ y0). 因为x420+y20=1,又?-λ16x0?2+?-λ4 y0?2=1,即λ4 2???x402+y20???=1, 所以 λ =2,即||OOQP||=2.5 分

第二步 联立消元:将直线方 程和圆锥曲线方程联 立得到方程:Ax2+Bx +C=0,然后研究判

②设 A(x1,y1),B(x2,y2).将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,

别式,利用根与系数 的关系得等式.

由 Δ >0,可得 m2<4+16k2,(*) 则 x1+x2=-1+8k4mk2,x1x2=41m+2-4k126.

第三步 找关系:从题设中寻 求变量的等量或不等

所以|x1-x2|=4

16k2+4-m2 1+4k2 .

因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为(0,m),

所以△OAB 的面积 S=12|m||x1-x2|=2

16k2+4-m2|m| 1+4k2

2 =

?161k+2+44k-2 m2?m2=2

???4-1+m24k2???1+m24k2.8 分

设1+m24k2=t,将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,

关系. 第四步 建函数:对范围最值 类问题,要建立关于 目标变量的函数关 系. 第五步 得范围:通过求解函

可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

数值域或解不等式得

由 Δ ≥0,可得 m2≤1+4k2.(**)

目标变量的范围或最

由(*)(**)可知 0<t≤1,因此 S=2 ?4-t?t=2 -t2+4t, 故 0<S≤2 3,当且仅当 t=1,即 m2=1+4k2 时取得最大值 2 3. 由①知,△ABQ 的面积为 3S,

值,要注意变量条件 的制约,检查最值取 得的条件.

所以△ABQ 面积的最大值为 6 3.12 分

评分细则 (1)第(1)问中,求 a2-c2=b2 关系式直接得 b=1,扣 1 分; (2)第(2)问中,求||OOQP||时,给出 P,Q 的坐标关系给 1 分;无“Δ >0”和“Δ ≥0”者,每处 扣 1 分;联立方程消元得出关于 x 的一元二次方程给 1 分;根与系数的关系写出后再给 1 分;
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求最值时,不指明最值取得的条件扣 1 分. 跟踪演练 6 (2018·全国Ⅰ)设抛物线 C:y2=2x,点 A(2,0),B(-2,0),过点 A 的直线 l 与 C 交于 M,N 两点. (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 BM 的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN. (1)解 当 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为 x=2,可得点 M 的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线 BM 的方程为 y=12x+1 或 y=-12x-1. 即 x-2y+2=0 或 x+2y+2=0. (2)证明 当 l 与 x 轴垂直时,AB 为 MN 的垂直*分线, 所以∠ABM=∠ABN. 当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-2)(k≠0), M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1>0,x2>0. 由?????yy=2=k2?xx,-2?, 得 ky2-2y-4k=0, 显然方程有两个不等实根. 所以 y1+y2=2k,y1y2=-4. 直线 BM,BN 的斜率之和 kBM+kBN=x1y+1 2+x2y+2 2=x2y1?+x1x+1y22+ ??x22+?y12+? y2?.① 将 x1=yk1+2,x2=yk2+2 及 y1+y2,y1y2 的表达式代入①式分子, 可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4kk?y1+y2?=-8k+8=0. 所以 kBM+kBN=0,可知 BM,BN 的倾斜角互补, 所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.
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